Question

20．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n+4n-2，（n∈N₊）
（1）求证：数列{a_n+2n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，结合数列的定义证明求解即可．
（2）直接利用拆项法，分别通过等差数列以及等比数列求和求解即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=3a_n+4n-2，（n∈N₊），
∴$\frac{{{a_{n+1}}+2（n+1）}}{{{a_n}+2n}}=\frac{{3{a_n}+4n-2+2（n+1）}}{{{a_n}+2n}}=\frac{{3（{a_n}+2n）}}{{{a_n}+2n}}=3$，
∴{a_n+2n}是以a₁+2=3为首项，以q=3公比的等比数列．
∴${a_n}+2n={3^n}⇒{a_n}={3^n}-2n$，
（2）${S_n}={a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}=（{3^1}-2）+（{3^2}-4）+（{3^3}-6）+…+（{3^n}-2n）$=$（{3^1}+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）-（2+4+6+8+…+2n）=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}-（{n^2}+n）$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．