Question

10．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄（1-S_n+1）（n∈N⁺），T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N⁺），当n=1时，由${a}_{1}+\frac{1}{3}{a}_{1}$=1，解得${a}_{1}=\frac{3}{4}$．当n≥2时，${S}_{n-1}+\frac{1}{3}{a}_{n-1}$=1，可得a_n=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知1-S_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=$（\frac{1}{4}）^{n+1}$，b_n=log₄（1-S_n+1）=-（n+1），可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N⁺），当n=1时，由${a}_{1}+\frac{1}{3}{a}_{1}$=1，解得${a}_{1}=\frac{3}{4}$，…（1分）
当n≥2时，${S}_{n-1}+\frac{1}{3}{a}_{n-1}$=1，可得a_n+$\frac{1}{3}（{a}_{n}-{a}_{n-1}）$=0，解得a_n=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是以$\frac{3}{4}$为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列．  …（4分）
故a_n=$\frac{3}{4}×（\frac{1}{4}）^{n-1}$=$3×（\frac{1}{4}）^{n}$（n∈N^*）　  …（6分）
（2）由（1）知1-S_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=$（\frac{1}{4}）^{n+1}$，
b_n=log₄（1-S_n+1）=-（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．（12分）

点评 本题考查了“裂项求和方法”、等比数列的求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．