Question

18．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AB的中点，CD⊥DA₁，AC⊥BC，∠ABB₁=45°，AC=BC=BB₁=2．
（1）证明：B₁D⊥BD；
（2）求点A到平面A₁CD的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出BD=$\frac{1}{2}$BA=$\sqrt{2}$，从而∠B₁BD=90°，由此能证明B₁D⊥BD．
（2）推导出CD⊥平面ABB₁A，从而平面CDA₁⊥平面ABB₁A，过A作AE⊥DA₁于E，则AE⊥平面A₁DC，AE即为点A到平面A₁CD的距离，由此利用等面积法能求出点A到平面A₁CD的距离．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AB的中点，
CD⊥DA₁，AC⊥BC，∠ABB₁=45°，AC=BC=BB₁=2．
∴BD=$\frac{1}{2}$BA=$\sqrt{2}$，…（2分）
又BB₁=2，且∠B₁BD=45°，∴∠B₁BD=90°，
∴B₁D⊥BD．…（6分）
解：（2）∵CD⊥BA，CD⊥DA₁，∴CD⊥平面ABB₁A，
∴平面CDA₁⊥平面ABB₁A，…（8分）
过A作AE⊥DA₁于E，则AE⊥平面A₁DC，∴AE即为点A到平面A₁CD的距离，…（10分）
A₁D=$\sqrt{{B}_{1}{D}^{2}+{B}_{1}{{A}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故在△ADA₁中，
由等面积法得AE=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．