Question

8．已知函数$f（x）=2+\frac{4}{x}，g（x）={2^x}$．
（1）设函数h（x）=g（x）-f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；
（2）定义min（p，q）表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），
①求函数H（x）的单调区间及最值；
②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x），g（x）的单调性，求出h（x）的单调性，求出函数h（x）的值域即可；
（2）①根据函数f（x），g（x）的图象求出H（x）的最大值，②根据H（x）的范围，求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴函数h（x）在区间[2，4]上单调递增，
故h（2）≤h（x）≤h（4），即0≤h（x）≤13，
所以函数在区间[2，4]上的值域为[0，13]．…（4分）
（2）①在同一坐标系中，作出f（x），g（x）的图象如图所示，

根据题意得，H（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，0＜x≤2}\\{2+\frac{4}{x}，x＞2}\end{array}\right.$，
由（1）知，y=2^x在区间（0，2]上单调递增，
$y=2+\frac{4}{x}$在区间上单调递减，
故H（x）_max=H（2）=4．
∴函数H（x）的单调递增区间为（0，2]，单调递减区间为（2，+∞），
H（x）有最大值4，无最小值．…••（8分）
②∵$f（x）=2+\frac{4}{x}$在[2，+∞）上单调递减，∴$2＜2+\frac{4}{x}≤4$，
又g（x）=2^x在（0，2]上单调递增，∴1＜2^x≤4，
∴要使方程H（x）=k有两个不同的实根，
则需满足2＜k＜4，
即实数k的取值范围是（2，4）．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、值域问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．