Question

13．已知圆C：x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M（4，-8）．
（1）过M作圆C的切线，切点为D，E，圆心为C，求切线长及DE所在的直线方程；
（2）过M作圆的割线交圆于A，B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质可知，切线长、半径、M点到圆心距离满足勾股定理，则切线长可求；由于C，D，M，E四点共圆，则过C，D，M，E的圆方程可求，两式相减即可得到CD所在直线的方程；
（2）先将圆的方程化成标准式，求出圆心O和半径，再根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线AB的距离，则就可以利用点到直线的距离公式求出直线AB的斜率，问题获解．

解答 解：（1）圆方程（x-2）²+（y+1）²=8，$|CM|=\sqrt{53}$，切线长为$\sqrt{|CM{|^2}-{r^2}}=3\sqrt{5}$．
由于C，D，M，E四点共圆，则过C，D，M，E的圆方程为${（x-3）^2}+{（y+\frac{9}{2}）^2}=\frac{53}{4}$，
由于DE为两圆的公共弦，则两圆相减得DE直线方程为：2x-7y-19=0．
（2）①若割线斜率存在，设AB：y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0．
设AB的中点中点为N，则$|CN|=\frac{|2k+1-4k-8|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$$⇒|CN|=\frac{|2k+7|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
由$|CN{|^2}+{（\frac{|AB|}{2}）^2}={r^2}$，得$k=-\frac{45}{28}$；直线AB：45x+28y+44=0．
②若割线斜率不存在，AB：x=4．
代入圆方程得y²+2y-3=0⇒y₁=1，y₂=-3，符合题意．
综上直线AB：45x+28y+44=0或x=4．

点评 有关圆的弦长问题一般会用到垂径定理，侧重考查圆的几何性质，属于中档题．