Question

18．已知函数f（x）=x²-4x+3，g（x）=m（x-1）+2（m＞0），若存在x₁∈[0，3]，使得对任意的x₂∈[0，3]，都有f（x₁）=g（x₂），则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}]$
• B． （0，3]
• C． $[{\frac{1}{2}，3}]$
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 存在x₁∈[0，3]，使得对任意的x₂∈[0，3]，都有f（x₁）=g（x₂）?{g（x）|x∈[0，3]}⊆{f（x）|x∈[0，3]}，利用二次函数和一次函数的单调性即可得出．

解答 解：存在x₁∈[0，3]，使得对任意的x₂∈[0，3]，都有f（x₁）=g（x₂）
?{g（x）|x∈[0，3]}⊆{f（x）|x∈[0，3]}．
∵函数f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，x∈[0，3]．
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值f（2）=-1．又f（0）=3，f（3）=0．
∴函数f（x）的值域为[-1，3]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=2-m≥-1}\\{g（3）=2m+2≤3}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了恒成立问题的等价转化、二次函数和一次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．