Question

3．在平面直角坐标系中，动圆P截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4，则动圆圆心P到直线$x+2y+\sqrt{5}=0$的距离的最小值为3．

Answer 1

分析 动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得的弦长分别为8，4，利用点到直线的距离公式、垂径定理可得点P的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式，可得结论．

解答 解：如图所示，设点P（x，y），由条件可得，AB=4，EC=2
由点到直线的距离公式，垂径定理可得$\frac{（3x-y）^{2}}{10}$+16=$\frac{（3x+y）^{2}}{10}$+4，化简可得，xy=10．
∴点P的轨迹方程为xy=10．
动圆圆心P到直线$x+2y+\sqrt{5}=0$的距离d=$\frac{|x+2y+\sqrt{5}|}{\sqrt{5}}$≥3，
∴动圆圆心P到直线$x+2y+\sqrt{5}=0$的距离的最小值为3，
故答案为3．

点评 本题以直线与圆相交为载体，考查轨迹方程，解题的关键是利用圆的特殊性，借助于垂径定理求解．