Question

13．已知函数f（x）=x²-4x-4在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．
（1）试写出函数g（t）的解析式；
（2）求函数g（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）=x²-4x-4 的对称轴为 x=2，分对称轴在闭区间的左边、中间、右边三种情况，分别求得函数f（x）的最小值，可得g（t）的解析式；
（2）作出g（t）的图象，数形结合可得，g（t）的最小值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=x²-4x-4 的对称轴为 x=2，
当2＜t时，函数f（x）在闭区间[t，t+1]上单调递增，
故函数的最小值g（t）=f（t）=t²-4t-4．
当t≤2≤t+1，即 1≤t≤2时，
函数的最小值g（t）=f（2）=-8．
当t+1＜2，即t＜1时，函数f（x）在闭区间[t，t+1]上单调递减，
故函数的最小值g（t）=f（t+1）=t²-2t-7．
综上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4t-4，t＞2}\\{-8，1≤t≤2}\\{{t}^{2}-2t-7，t＜1}\end{array}\right.$．
（2）作出g（t）的图象，如图所示：
数形结合可得，g（t）的最小值为-8．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的图象的作法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．