Question

11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（　　）

• A． $[{0，\frac{12}{5}}]$
• B． [0，1]
• C． $[{1，\frac{12}{5}}]$
• D． $（{0，\frac{12}{5}}）$

Answer 1

分析 设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．

解答 解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得：x²+（y+1）²=4，
∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
化简可得 0≤a≤$\frac{12}{5}$，
故选A．

点评 本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．