Question

1．某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，这些产品要在A、B、C、D四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，产品Ⅰ每件在A、B、C、D设备上需要加工时间分别是2、2、3、0小时，产品Ⅱ每件在A、B、C、D设备上需要加工时间分别是4、1、0、3小时，A、B、C、D设备最长使用时间分别是16、8、9、9小时．设计划每天生产产品Ⅰ的数量为x（件），产品Ⅱ的数量为y（件）．（x，y∈N）
（1）用x，y列出满足设备限制使用要求的关系式，并画出相应的平面区域；
（2）已知产品Ⅰ每件利润2（万元），产品Ⅱ每件利润3（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少件会使利润最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知条件列出不等式组，画出可行域即可．
（2）写出目标函数，利用目标函数的几何意义求解函数的最值即可．

解答 解：（1）x，y所满足的关系式为$\left\{\begin{array}{l}2x+4y≤16\\ 2x+y≤8\\ 0≤3x≤9\\ 0≤3y≤9\\ x，y∈N\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+2y≤8\\ 2x+y≤8\\ 0≤x≤3\\ 0≤y≤3\\ x，y∈N\end{array}\right.$．…（3分）
画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+2y≤8\\ 2x+y≤8\\ 0≤x≤3\\ 0≤y≤3\\ x，y∈N\end{array}\right.$所表示的平面区域，即可行域，
（图中实心点）（注：可行域画成阴影区域及未标注x，y∈N扣1分）…（6分）
（2）设最大利润为z（万元），则目标函数z=2x+3y．…（8分）
将z=2x+3y变形$y=-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，这是斜率为$-\frac{2}{3}$，随z变化的一组平行直线，$\frac{z}{3}$是直线在y轴上的截距，
当$\frac{z}{3}$取得最大值时，z的值最大，又因为x，y所满足的约束条件，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ 2x+y=8\end{array}\right.$，得点M坐标为$（{\frac{8}{3}，\frac{8}{3}}）$．
又∵x，y∈N，当直线$y=-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$经过可行域上的点A（2，3）时，截距$\frac{z}{3}$最大．…（10分）
此时，z=2×2+3×3=13．
所以，每天安排生产2件产品Ⅰ，3件产品Ⅱ，会使利润最大为13（万元）．…（12分）

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．