Question

16．已知命题p：方程$\frac{x^2}{2-t}+\frac{y^2}{2+t}=1$所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：实数t满足不等式t²-（a+2）t+2a＜0．
（1）若命题p为真，求实数t的取值范围；
（2）若“命题p为真”是“命题q为真”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的方程的特征，得2-t＞2+t＞0即可；
（2）由“命题p为真”是“命题q为真”的充分不必要条件，得{t|-2＜t＜0}是不等式t²-（a+2）t+2a=（t-2）（t-a）＜0的解集的真子集

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{2-t}+\frac{y^2}{2+t}=1$所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，
∴2-t＞2+t＞0．…（3分）
解得-2＜t＜0．…（5分）
（2）∵“命题p为真”是“命题q为真”的充分不必要条件，
∴{t|-2＜t＜0}是不等式t²-（a+2）t+2a=（t-2）（t-a）＜0的解集的真子集．…（7分）
令f（t）=t²-（a+2）t+2a，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（{-2}）≤0\\ f（0）≤0\end{array}\right.$．…（9分）
解得a≤-2，故实数a的取值范围为（-∞，-2]．…（10分）

点评 本题考查了命题真假的应用，充要条件的应用，转化思想是关键，属于基础题．