Question

9．设F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点，P是以F₁F₂为直径的圆和椭圆的一个交点，若∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，则椭圆的离心率等于$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 先根据题意和圆的性质可判断出△PF₁F₂为直角三角形，根据∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，推断出∠PF₁F₂=60°，进而可求得PF₁和PF₂，再利用椭圆的定义求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．

解答 解：由题意△PF₁F₂为直角三角形，且∠P=90°，∠PF₁F₂=60°，F₁F₂=2c，
∴PF₁=c，PF₂=$\sqrt{3}$c，
由椭圆的定义知，PF₁+PF₂=c+$\sqrt{3}$c=2a，
∴离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是椭圆基本知识中重要的内容，求离心率的关键是通过挖掘题设信息求得a和c的关系，是中档题．