Question

19．函数f（x）=x³+ax²+b的图象在点P（1，0）处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求a，b；
（2）求函数f（x）在[0，t]（t＞0）内的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）首先求出函数f（x）的导数，根据曲线在P（1，0）处的切线斜率是-3，求出a的值；然后根据函数过点P（1，0），求出b的值，进而求出函数f（x）的解析式即可；
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x，令f′（x）=0，可得x=0或x=2，然后分类讨论，求出函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）因为f′（x）=3x²+2ax，曲线在P（1，0）处的切线斜率为f′（1）=3+2a，
即3+2a=-3，
所以a=-3；
又因为函数过（1，0）点，
即-2+b=0，
所以b=2，…（5分）
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
f′（x）与f（x）随x变化情况如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		2		-2

由f（x）=f（0）解得x=0，或x=3，
因此根据f（x）的图象，
当0＜t≤2时，f（x）的最大值为f（0）=2，
最小值为f（t）=t³-3t²+2；
当2＜t≤3时，f（x）的最大值为f（0）=2，
最小值为f（2）=-2；
当t＞3时，f（x）的最大值为f（t）=t³-3t²+2，
最小值为f（2）=-2．         …（12分）

点评 此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，属于中档题．