Question

7．锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow m=（{2sin（{A+C}），-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow n=（{1-2{{cos}^2}\frac{B}{2}，cos2B}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．
（1）求角B的大小；
（2）若sinAsinC=sin²B，求a-c的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow m=（{2sin（{A+C}），-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow n=（{1-2{{cos}^2}\frac{B}{2}，cos2B}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，解得-sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，可得B．
（2）sinAsinC=sin²B，由正弦定理可得：ac=b²，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（{2sin（{A+C}），-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow n=（{1-2{{cos}^2}\frac{B}{2}，cos2B}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2sinBcosB-$\sqrt{3}$cos2B=-sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，
又因为锐角三角形，所以$B=\frac{π}{3}$；
（2）∵sinAsinC=sin²B，由正弦定理可得：ac=b²，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴ac=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$，化为（a-c）²=0，解得a-c=0．

点评 本题考查了正弦定理\余弦定理的应用、数量积运算性质、辅助角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．