Question

14．已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1（{{a_1}＞{b_1}＞0}）$与双曲线${C_2}：\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1（{{a_2}＞0，{b_2}＞0}）$有相同的焦点F₁，F₂，点P是两曲线的一个公共点，且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分别是两曲线C₁，C₂的离心率，则$9e_1^2+e_2^2$的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a₁，双曲线实轴为2a₂，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a₁²+a₂²=2c²，由此能求出9e₁²+e₂²的最小值．

解答 解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a₁，双曲线实轴为2a₂，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2a₂，①
由椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=2a₁，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，③
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a₁²+2a₂²，④
将④代入③，得a₁²+a₂²=2c²，
∴9e₁²+e₂²=$\frac{9{c}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$=5+$\frac{9{{a}_{2}}^{2}}{{{2a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2{{a}_{2}}^{2}}$≥8，即$9e_1^2+e_2^2$的最小值是8．
故选：C．

点评 本题考查9e₁²+e₂²的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．