Question

9．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$与y轴交于B₁、B₂两点，F₁为椭圆C的左焦点，且△F₁B₁B₂是腰长为$\sqrt{2}$的等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P₁（P₁与Q不重合），则直线P₁Q与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出b=c，a=$\sqrt{2}$，则b=1，推出椭圆C的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），P₁（x₁，-y₁）联立x=my+1与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，利用韦达定理得，转化求解直线方程，即可推出结果．

解答 解：（1）椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$与y轴交于B₁、B₂两点，
F₁为椭圆C的左焦点，且△F₁B₁B₂是腰长为$\sqrt{2}$的等腰直角三角形．可得b=c，a=$\sqrt{2}$，则b=1，
椭圆C的方程：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）P₁（x₁，-y₁）
由直线x=my+1与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立得，（m²+2）y²+2my-1=0
韦达定理得，${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+2}}，{y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+2}}$
而直线PQ的方程为$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_2}）$，令y=0，则$x=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{（m{y_1}+1）{y_2}+（m{y_2}+1）{y_1}}}{{{y_1}{y_2}}}=2m\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}+1=2$，
所以直线PQ过定点（2，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．