Question

6．数列{a_n}满足a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$（[a_n]与{a_n}分别表示a_n的整数部分与分数部分），则a₂₀₁₄=（　　）

• A． 3020+$\sqrt{3}$
• B． 3020+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$+3018
• D． 3018+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 根据数列的递推关系及其[x]、{x}的意义，求出数列的前几项，得到数列的规律性，即可得到结论．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$，
∴a₂=1+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，同理可得：a₃=4+（$\sqrt{3}$-1），a₄=5+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，a₅=7+（$\sqrt{3}$-1），a₆=8+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
a₇=10+（$\sqrt{3}$-1），a₈=11+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，a₉=13+（$\sqrt{3}$-1），…．
∴a_2n=（3n-1）+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
则a₂₀₁₄=3×1007-1+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=3020+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了数列的递推关系、新定义、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．