Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+1在区间（-∞，-2]，[2，+∞）上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设0＜m≤2，若对任意的x₁、x₂∈[m-2，m]不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤16m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上单调递增，在[-2，2]上单调递减，得f′（x）=0有二实根x₁=-2，x₂=2；由根与系数关系得b与c的值；
（2）对任意的x₁、x₂∈[m-2，m]不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤16m恒成立，等价于在[m-2，m]上f（x）_max-f（x）_min≤16m，求出不等式的解集即得m取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx+1，∴f′（x）=3x²+2bx+c，
又∵f（x）在区间（-∞，-2]，[2，+∞）上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，
∴方程f′（x）=0有两个实根x₁=-2，x₂=2；
由x₁+x₂=-

2b

3

=0，得b=0，x₁x₂=

c

3

=-4，得c=-12；
∴f（x）的解析式为f（x）=x³-12x+1．
（2）任意的x₁、x₂∈[m-2，m]不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤16m恒成立，
等价于在[m-2，m]上f（x）_max-f（x）_min≤16m，
∵f（x）在[-2，2]上为减函数，且0＜m≤2，
∴[m-2，m]?[-2，2]，∴f（x）在[m-2，m]上为减函数，
∴f（x）_max=f（m-2）=（m-2）³-12（m-2）+1，
f（x）_min=f（m）=m³-12m+1；
∴f（x）_max-f（x）_min=-6m²+12m+16≤16m，
∴m≤-2，或m≥

4

3

；
又∵0＜m≤2，∴m的最小值为m_min=

4

3

．

点评：本题考查了利用导函数来研究函数的单调性，求函数在闭区间上的最值问题以及不等式恒成立问题，是较难的题目．