Question

已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（|sinx|）的最小值；
（3）在（1）的条件下，若y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求实数a的值，只须求出切线斜率的值列出关于a的等式即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后利用斜率为0即可求得a；
（2）求出函数的导数，讨论a的取值范围，再根据导数求函数的单调性，从而可求出函数的最小值；
（3）欲使y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点，只需kx=e^x（x²-2x-2）有三解，将k分离，研究另一侧函数的图象性质，结合图象可求出k的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）=（e^x）′•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）′
=e^x•（ax²-2x-2）+e^x•（2ax-2）
=a•e^x•（x-）（x+2）．
∵曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，
由导数的几何意义得f′（2）=0，
∴a=1．
∴实数a的值为：1．
（2）由（1）可知设|sinx|=t，（0≤t≤1），则转化为求函数y=f（t），（0≤t≤1）的最小值．
∵a＞0∴f′（x）=e^x•[ax²+（2a-2）x-4]=a•e^x•（x-）（x+2）．
令f′（x）=0，解得x=或x=-2（舍）．
若≥1，即0＜a≤2时，x∈[0，1]时，f′（x）＜0，
函数f（t）在[0，1]上为减函数则函数f（t）的最小值为f（1）=（a-4）e；
若0＜＜1，即a＞2时，函数f（t）在（0，）上递减，在（，1）上递增
∴函数f（t）的最小值为f（）=-2
∴当0＜a≤2时，函数f（|sinx|）的最小值为（a-4）e
当a＞2时，函数f（|sinx|）的最小值为-2
（3）∵y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点
∴kx=e^x（x²-2x-2）有三解，即k=
而令g（x）=则g′（x）==．
令g′（x）=0解得x=1或2或-2
当x＜-2时，g′（x）＜0，当-2＜x＜0时，g′（x）＞0，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0
∴当x=-2时函数取极小值g（-2）=-3e^-2，当x=1时，函数取极大值g（1）=-3e，
当x=2时，函数取极小值g（2）=-e²，画出函数图象
结合函数的图象可知-e²＜k＜-3e或-3e^-2＜k＜0
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于难题．