Question

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车每年最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为

1

9

、

1

10

、

1

11

，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额ξ的分布列．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，该单位一年内获赔的对立事件是三辆车都不发生这样的事故，根据相互独立事件和对立事件的概率公式得到结果．
（2）（2）由题意知ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率公式做出这几种情况的概率，写出分布列．

解答：解：设A_k表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3．
由题意知A₁、A₂、A₃相互独立，且P（A₁）=

1

9

，P（A₂）=

1

10

，P（A₃）=

1

11

．
（1）该单位一年内获赔的对立事件是三辆车都不发生这样的事故，
根据相互独立事件和对立事件的概率公式得到
1-P（

.

A1

.

A2

.

A3

）=1-P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=1-

8

9

×

9

10

×

10

11

=

3

11

．
（2）由题意知ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．
结合变量对应的事件做出这几种情况的概率，
P（ξ=0）=P（

.

A1

.

A2

.

A3

）=P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=

8

9

×

9

10

×

10

11

=

8

11

，
P（ξ=9000）=P（A₁

.

A2

.

A3

）+P（

.

A1

A₂

.

A3

）+P（

.

A1

.

A2

A₃）
=P（A₁）P（

.

A2

）P（

.

A3

）+P（

.

A1

）P（A₂）P（

.

A3

）+P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（A₃）
=

1

9

×

9

10

×

10

11

+

8

9

×

1

10

×

10

11

+

8

9

×

9

10

×

1

11

=

242

990

=

11

45

，
P（ξ=18000）=P（A₁A₂

.

A3

）+P（A₁

.

A2

A₃）+P（

.

A1

A₂A₃）
=P（A₁）P（A₂）P（

.

A3

）+P（A₁）P（

.

A2

）P（A₃）+P（

.

A1

）P（A₂）P（A₃）
=

1

9

×

1

10

×

10

11

+

1

9

×

9

10

×

1

11

+

8

9

×

1

10

×

1

11

=

27

990

=

3

110

，
P（ξ=27000）=P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=

1

9

×

1

10

×

1

11

=

1

990

．
∴ξ的分布列为

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．