Question

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金、对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为

1

9

，

1

10

，

1

11

，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额ξ的分别列与期望．

Answer 1

分析：（1）设A_k表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3、由题意知A₁，A₂，A₃之间相互独立，正难则反，该单位一年内获赔的对立事件是A₁，A₂，A₃都不发生，用对立事件的概率做出结果．
（2）由题意知ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000，看出这四个数字对应的事件，做出事件的概率，写出分布列，求出期望，概率在解时情况比较多，要认真．

解答：解：（1）设A_k表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3，
由题意知A₁，A₂，A₃独立，且P（A₁）=

1

9

，P（A₂）=

1

10

，P（A₃）=

1

11

∵该单位一年内获赔的对立事件是A₁，A₂，A₃都不发生，
∴该单位一年内获赔的概率为1-P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=1-P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)=1-

8

9

×

9

10

×

10

11

=

3

11

．

（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000
P(ξ=0)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)=

8

9

×

9

10

×

10

11

=

8

11

，
P(ξ=9000)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=P(A1)P(

.

A2

)P(

.

A3

)+P(

.

A1

)P(A2)P(

.

A3

)+P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(A3)
=

1

9

×

9

10

×

10

11

+

8

9

×

1

10

×

10

11

+

8

9

×

9

10

×

1

11

=

242

990

=

11

45

，
P(ξ=18000)=P(A1A2

.

A3

)+P(A1

.

A2

A3)+P(

.

A1

A2A3)
=P(A1)P(A2)P(

.

A3

)+P(A1)P(

.

A2

)P(A3)+P(

.

A1

)P(A2)P(A3)
=

1

9

×

1

10

×

10

11

+

1

9

×

9

10

×

1

11

+

8

9

×

1

10

×

1

11

=

27

990

=

3

110

，
P（ξ=27000）=P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）
=

1

9

×

1

10

×

1

11

=

1

990

，
综上知，ξ的分布列为

设ξ_k表示第k辆车一年内的获赔金额，k=1，2，3，则ξ₁有分布列

∴Eξ1=9000×

1

9

=1000
同理得Eξ2=9000×

1

10

=900，Eξ3=9000×

1

11

≈818.18
综上有Eξ=Eξ₁+Eξ₂+Eξ₃≈1000+900+818.18=2718.18（元）

点评：本题最后一问可以这样解：由ξ的分布列得Eξ=0×

8

11

+9000×

11

45

+18000×

3

110

+27000×

1

990

=

29900

11

≈2718.18（元）