Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为棱上一点，．

（1）确定的位置，使得平面 平面，并说明理由；

（2）设二面角的正切值为，，为线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）为棱的中点；（2）或.

【解析】分析：（1）由四边形为平行四边形，得，进而得，即可利用面面垂直的判定定理，证得平面平面；

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用法向量和向量所成解角，即可求解实数的值．

详解：（1）为棱的中点．　

证明如下：

∵四边形为平行四边形，∴为的中点，∴．

∵ ，∴四边形为平行四边形，则．

又，∴平面平面．

（2）过作于，连接，则即为二面角的平面角．

∵，，∴．

又，，∴．　

以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，

则，，设平面的法向量，

则，即，令，得，

设，∵，∴ ，

∴与平面所成角的正弦值为，

∴，∴或，

又，∴或．