Question

【题目】如图，已知正方体的棱长为1，点是棱上的动点，是棱上一点，.

（1）求证：；

（2）若直线平面，试确定点的位置，并证明你的结论；

（3）设点在正方体的上底面上运动，求总能使与垂直的点所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】分析：（1）要证，需证明平面，要证，，用综合法书写即可。

（2）要证明平面，需证明，需证面，需证面，需证：，要证明：，由此确定E点的位置。

（3）过三等分点作平行线，对于上面的任意一点都有，再求长度。

详解：（1）证明：连结，是正方形，所以，

在正方体中，平面，

所以，

又，

所以平面，

因为平面，

所以.

（2）当时，直线平面.

证明如下：

过点在平面作交于点，

连结，交于点，

因为，所以，

在与中，，，

所以，，

又，所以，

所以，，

在正方体中，面，

所以面，

所以，

又，

所以面，

所以，

又，，

所以直线平面.

（3）.