在平面直角坐标系xOy中.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.且一条准线与抛物线y2=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x的准线重合．(1)求椭圆C的方程,(2)过原点作直线l交椭圆于A.B两点.M为椭圆上异于点A.B的一点．若直线AM和BM� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且一条准线与抛物线y²=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x的准线重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点作直线l交椭圆于A、B两点，M为椭圆上异于点A、B的一点．
若直线AM和BM均不垂直于x轴，且它们的斜率分别为k₁和k₂，求怔：k₁k₂为定值，并求出该定值；
②若|AM|=|BM|，求△ABM的面积的最小值以及此时直线l的方程．

分析（1）运用椭圆的离心率公式和抛物线的准线方程，由椭圆的基本量的关系，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（2）①设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），M（x₂，y₂），代入椭圆方程，相减，再由直线的斜率公式，化简整理即可得到定值；
②|AM|=|BM|，可得OM⊥l，当直线l的斜率不存在，求得交点，可得△ABM的面积；设直线l的方程为y=kx，则OM的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，代入椭圆方程，求得交点A，B，M的坐标，运用三角形的面积公式，以及换元法和基本不等式即可得到所求最小值和直线l的方程．

解答解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
抛物线y²=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x的准线方程为x=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
可得$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得a=2．c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）①证明：设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），M（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+y₂²=1，
两式相减可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{4}$+（y₁²-y₂²）=0，
即为$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
则k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
即k₁k₂为定值-$\frac{1}{4}$．
②|AM|=|BM|，可得OM⊥l，
当直线l的斜率不存在，可得l：x=0，则M为椭圆的长轴的端点，
即有△ABM的面积为ab=2；
设直线l的方程为y=kx，则OM的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得x=±$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，y=±$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
即有A（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），B（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
将k换为-$\frac{1}{k}$，可设M（$\frac{2}{\sqrt{1+\frac{4}{{k}^{2}}}}$，$\frac{-\frac{2}{k}}{\sqrt{1+\frac{4}{{k}^{2}}}}$），
则△ABM的面积为S=$\frac{1}{2}$|OM|•|AB|=|OM|•|OA|
=$\sqrt{\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{4（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}{1+\frac{4}{{k}^{2}}}}$=4$\sqrt{\frac{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}{17+4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}}$，
设t=k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2，则S=4$\sqrt{\frac{2+t}{17+4t}}$=4$\sqrt{\frac{1}{4+\frac{9}{t+2}}}$≥4$\sqrt{\frac{1}{4+\frac{9}{4}}}$=$\frac{8}{5}$．
综上可得，当k=±1即直线l的方程为y=±x，△ABM的面积取得最小值$\frac{8}{5}$．

点评本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和抛物线的准线方程，考查直线的斜率公式的运用和点满足椭圆方程，同时考查换元法和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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