Question

已知二项式（x-

2

x

）ⁿ展开式中第二项的系数a₂与第三项的系数a₃满足：a₃+9a₂=0．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）记展开式中二项式系数最大的项为f（x），求f（4）的值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）由题意利用二项展开式的通项公式求得a₃和a₂的值，再根据a₃+9a₂=0求得n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，二项式系数最大项为第六项，根据通项公式求得f（x）的解析式，可得f（4）的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得a2=

C

1 n

•(-2)，a3=

C

2 n

•(-2)2，
再根据a3+9a2=

C

2 n

•(-2)2+9

C

1 n

•(-2)=2n2-20n=0，求得n=10，或n=0（舍）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，二项式系数最大项为第六项，则f(x)=

C

5 10

•(-2)5(

x

)5，
∴f(4)=

C

5 10

•(-2)525=-252×210．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．