Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）讨论f（x）=e^x-ax-1（a∈R）的单调性；
（2）若a=1，求证：当x≥0时，f（x）≥f（-x）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x），分a≤0，a＞0两种情况讨论解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调性；
（2）令g（x）=f（x）-f（-x）=e^x-

1

ex

-2x，利用导数可证明g（x）≥0．

解答： （1）解：f′（x）=e^x-a．
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，令f′（x）＞0，得x＞lna；令f′（x）＜0，得x＜lna．
综上，当a≤0时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
当a＞0时，增区间是（lna，+∞），减区间是（-∞，lna）．
（2）证明：令g（x）=f（x）-f（-x）=e^x-

1

ex

-2x，
则g′（x）=e^x+e^-x-2≥2

ex•e-x

-2=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，∴g（x）≥g（0）=0，
∴f（x）≥f（-x）．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，证明（2）问的关键是合理构造函数借助导数解决问题．