Question

已知函数f（x）=x²．
（Ⅰ）写出函数f（x）的导函数，并用定义证明；
（Ⅱ）求函数f（x）图象在点P（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）函数y=x²上任取点P（x₀，x₀²），Q（x₀+△x，（x₀+△x）²），则△x→0时，

△y

△x

→2x₀；
（Ⅱ）求得f′（1）=2，f（1）=1，即可求出函数f（x）图象在点P（1，f（1））处的切线方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²，∴f′（x）=2x，
证明如下：函数y=x²上任取点P（x₀，x₀²），Q（x₀+△x，（x₀+△x）²），则

△y

△x

=

(x0+△x)2-x02

△x

=2x₀+△x，
∴△x→0时，

△y

△x

→2x₀，
∴f′（x）=2x；
（Ⅱ）f′（1）=2，f（1）=1，
∴函数f（x）图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．