Question

在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则

b

c

+

c

b

的取值范围是（　　）

• A、[2，

  5

  ]
• B、[2，

  6

  ]
• C、[3，

  5

  ]
• D、[3，

  6

  ]

Answer 1

考点：基本不等式

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：由三角形的面积公式可得S_△ABC=

1

2

a2=

1

2

bcsinA，可得sinA，由余弦定理可得cosA，可得

b

c

+

c

b

≤

5

，再由基本不等式可得

b

c

+

c

b

≥2，综合可得．

解答： 解：∵BC边上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=

1

2

a2=

1

2

bcsinA，∴sinA=

a2

bc

，
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

（

b

c

+

c

b

-

a2

bc

），
∴

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA=

5

sin（A+α）≤

5

，其中tanA=2，
又由基本不等式可得

b

c

+

c

b

≥2

b c • c b

=2，
∴

b

c

+

c

b

的取值范围是[2，

5

]．
故选：A

点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式以及基本不等式，属中档题．