Question

函数y=log2[

1

2

-cos(2x+

π

4

)]在（0，π）上的单调递增区间为

（

π

24

，

3π

8

]

．

Answer 1

分析：由

1

2

-cos（2x+

π

4

）＞0，x∈（0，π）可求得x的取值范围，利用复合函数的单调性，只需求此时y=cos（2x+

π

4

）的单调递减区间即可．

解答：解：由对数的意义知，

1

2

-cos（2x+

π

4

）＞0，
∴cos（2x+

π

4

）＜

1

2

，
∴2kπ+

π

3

＜2x+

π

4

＜

5π

3

+2kπ，k∈Z．
∴kπ+

π

24

＜x＜

17π

24

+kπ，
∵0＜x＜π，
∴

π

24

＜x＜

17π

24

；①
要求函数y=log2[

1

2

-cos(2x+

π

4

)]在（0，π）上的单调递增区间，
由于y=log₂x为增函数，由复合函数的单调性（同增异减）知，
需求g（x）=

1

2

-cos（2x+

π

4

）在g（x）＞0条件下的递增区间，即y=cos（2x+

π

4

）在cos（2x+

π

4

）＜

1

2

的递减区间；
由2kπ≤2x+

π

4

≤π+2kπ，k∈Z．
得kπ-

π

8

≤x≤

3π

8

+kπ，
∴y=cos（2x+

π

4

）的单调递减区间为[kπ-

π

8

，

3π

8

+kπ]，k∈Z．②
又0＜x＜π，
∴0≤x≤

3π

8

或

7π

8

≤x＜π②
由①②得：

π

24

＜x≤

3π

8

．
∴y=log2[

1

2

-cos(2x+

π

4

)]在（0，π）上的单调递增区间为（

π

24

，

3π

8

]，
故答案为：（

π

24

，

3π

8

]．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，考查对数函数的性质与余弦函数的单调性，属于中档题．