精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=ax-21nx,a∈R
(Ⅰ)a=1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)求f(x)单调区间
(Ⅲ)设g(x)=
a+2e
x
(a>0)
,若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围.
(I)f′(x)=1-
2
x
,x>0
.令f'(x)=0,得x=2
当x变化时,f'(x)与f(x)变化情况如下表:
x(0,2)2(2,+∞)
f'(x)-0+
f(x)单调递减极小值单调递增
∴当x=2时,f(x)取得极小值f(2)=2-2ln2.
(Ⅱ)a≤0时,f(x)在(0,+∞)上为减函数;a>0时,f(x)在(0,
2
a
)上是减函数,
在(
2
a
,+∞
)上是增函数.
(Ⅲ)本命题等价于f(x)-g(x)>0在[1,e]上有解,设F(x)=f(x)-g(x)=ax-2lnx-
a+2e
x

F'(x)=a-
2
x
+
a+2e
x2
=
ax2-2x+a+2e
x2
=
ax2+a+2(e-x)
x2
>0

所以F(x)为增函数,F(x)max=F(e).
依题意需F(e)>0,解得a>
4e
e2-1
.所以a的取值范围是(
4e
e2-1
,+∞)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分14分)已知

(1)若f(x)在处取得极值,试求c的值和f(x)的单调增区间;
(2)如右图所示,若函数的图象在连续光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在使得?(用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答)
(3)利用(2)证明:函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数的图象与轴切于点,求的极值。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

与直线2x-y+3=0垂直的抛物线C:y=x2+1的切线方程为______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=12x-x3,求曲线y=f(x)斜率为9的切线的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知f(x)=x3-ax+b-1是定义在R上的奇函数,且在x=
3
3
时取最得极值,则a+b的值为(  )
A.
1
2
B.
3
4
C.1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为(  )
A.-1B.1C.-2D.2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数f(x)=
m2
3
x3-
3
2
x2
+(m+1)x+1.
(1)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意实数m∈(0,+∞),不等式f'(x)>x2m2-(x2+1)m+x2-x+1恒成立,求x的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=x3-3x,
(1)求函数f(x)在[-3,
3
2
]
上的最大值和最小值.
(2)求曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案