Question

16．钝角△OAB三边的比为2$\sqrt{3}$：2$\sqrt{2}$：（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），O为坐标原点，A（2，2$\sqrt{3}$）、B（a，a），则a的值为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图象，由图和题意分两种情况，分别根据余弦定理求出内角的余弦值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角的大小，由正弦定理求出边OA的值，由点A的坐标求出a的值．

解答 解：由题意画出图象：
（1）当OA：0B：AB=2$\sqrt{3}$：2$\sqrt{2}$：（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）时，
则cos∠OBA=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}{2×2\sqrt{2}×（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}$
=$\frac{4-4\sqrt{3}}{8（\sqrt{3}-1）}$=$-\frac{1}{2}$，
因为∠OBA是内角，则∠OBA=120°，
cos∠OAB=$\frac{{（2\sqrt{3}）}^{2}+{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}^{2}-{（2\sqrt{2}）}^{2}}{2×2\sqrt{3}×（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}$
=$\frac{12-4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{2}•（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为∠OAB是内角，则∠OAB=45°，
在△OAB中，由正弦定理得$\frac{OB}{sin∠OAB}=\frac{OA}{sin∠OBA}$，
则OB=$\frac{OA•sin∠OAB}{sin∠OBA}$=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
因B（a，a），则$\sqrt{2}$a=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，解得a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
（2）当OB：0A：AB=2$\sqrt{3}$：2$\sqrt{2}$：（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）时，
则cos∠OAB=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}{2×2\sqrt{2}×（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}$
=$\frac{4-4\sqrt{3}}{8（\sqrt{3}-1）}$=$-\frac{1}{2}$，
因为∠OAB是内角，则∠OAB=120°，
cos∠OBA=$\frac{{（2\sqrt{3}）}^{2}+{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}^{2}-{（2\sqrt{2}）}^{2}}{2×2\sqrt{3}×（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}$
=$\frac{12-4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{2}•（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为∠OBA是内角，则∠OBA=45°，
在△OAB中，由正弦定理得$\frac{OB}{sin∠OAB}=\frac{OA}{sin∠OBA}$，
则OB=$\frac{OA•sin∠OAB}{sin∠OBA}$=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+{（2\sqrt{3}）}^{2}}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{6}$，
因B（a，a），则$\sqrt{2}$a=2$\sqrt{6}$，解得a=2$\sqrt{3}$，
综上可得，a的值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或2$\sqrt{3}$
故选C．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，注意内角的范围，考查分类讨论思想，化简、计算能力．