Question

11．已知命题p：在x＞0时不等式$\frac{x}{{x}^{2}-x+1}$＜a恒成立；命题q：函数f（x）=log_0.5$\frac{ax-2}{x-1}$在（2，4））上是减函数，若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用复合命题真假的判断方法求解实数a的取值范围是解决本题的关键．首先要确定出命题p，q为真的字母a的取值范围，利用恒成立问题的分离变量方法得出命题p为真的a的范围；利用复合函数单调性的方法得出命题q为真的a的范围，注意对数函数定义域的意识

解答 解：若p是真，a＞$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$≥$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}-1}$=$\frac{1}{2-1}$=1，当且仅当x=1时取等号，故a＞1，
若q为真，f（x）=log_0.5$\frac{ax-2}{x-1}$在（2，4）上是减函数，则y=$\frac{ax-2}{x-1}$在（2，4）为增函数，且$\frac{ax-2}{x-1}$＞0，在（2，4）恒成立，
∴$\frac{2a-2}{2-1}$＞0，解得a＞1，
若命题“p∨q”是真命题，则有p真q假或p假q真或p，q均为真命题，
若p真q假，则不存在a，若p假q真，则不存在a，若p，q均为真命题，a＞1，
综上可得实数a的取值范围是a＞1．

点评 本题考查的知识点是命题真假判断与应用，解决本题的灵魂在于“转化”，将p∨q是真命题，转化为p真q假或p假q真或p真p真．