Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a1=

1

2

，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）问：数列{

1

Sn

}是否为等差数列？并证明你的结论；
（Ⅱ）求S_n和a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）数列{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列，利用数列递推式，可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

Sn

=2+2（n-1）=2n，可得S_n的值，进而可求a_n．

解答：解：（Ⅰ）数列{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列．证明如下：
∵n≥2时，a_n+2S_nS_n-1=0，∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
∵a1=

1

2

，∴

1

S1

=2
∴数列{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

Sn

=2+2（n-1）=2n，∴S_n=

1

2n

；
∵n≥2时，a_n+2S_nS_n-1=0，
∴a_n=-2×

1

2n

×

1

2(n-1)

=

1

2n(1-n)

∴a_n=

1 2 ，n=1 1 2n(1-n) ，n≥2

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的求和与通项，正确运用数列递推式是关键．