Question

在四面体ABCD中，△BCD是边长为2的正三角形，面ABD面⊥BCD，面ABC⊥面ADC，M、N分别是AC、BC的中点．
（1）过三点D，M，N的平面α与面ABD交于直线l，求证：l∥MN；
（2）若AB=AD，求四面体ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明MN∥AB，利用线面平行的判定与性质可得l∥MN；
（2）取BD中点O，连AO、CO，过B作BE⊥AC，连接DE，可得BE⊥DE，从而可求四面体ABCD的体积．

解答：（1）证明：∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MN∥AB
∵MN?面ABD，AB?面ABD
∴MN∥面ABD  （2分）
又MN?面α，α∩面ABD=l，
∴l∥MN （4分）
（2）解：如图取BD中点O，连AO、CO，
∵AB=AD，△BCD为正三角形  （6分）
∴AO⊥BD，OC⊥BD，
又面ABD⊥面BCD，∴AO⊥面BCD  （8分）
过B作BE⊥AC，连接DE，因为△ADC≌△ABC，所以DE⊥AC，连接OE，由面ABC⊥面ADC，得BE⊥DE  （9分）
在等腰Rt△BED中，由BD=2得OE=1，
在Rt△OEC中，OC=

3

，所以tan∠ACO=

2

2

，
在Rt△AOC中，由OC=

3

，tan∠ACO=

AO

OC

=

2

2

，得OA=

6

2

（12分）
∴V_{四面体ABCD}=

1

3

×OA×S△BCD=

1

3

×

6

2

×

3

4

×22=

2

2

（13分）

点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查四面体的体积，考查学生分析、计算能力，属于中档题．