【题目】已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=-1.其中
>0且
≠1.
(1)求f(2)+f(-2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)解关于x的不等式-1<f(x-1)<4.
【答案】(1)0;(2);(3)见解析
【解析】
(1)由函数是奇函数,即可求得
的值;
(2)设,则
,求得
,根据函数
是奇函数,即可化简求得函数的解析式;
(3)分类讨论,得出不等式组,利用对数函数的性质,即可求解.
(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-2)=-f(2),即f(2)+f(-2)=0.
(2)当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=a-x-1.
由f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x),
∵f(-x)=a-x-1,
∴f(x)=-a-x+1(x<0).
∴所求的解析式为f(x)= .
(3)不等式等价于 或
,
即或
.
当a>1时,有 或
,
注意此时loga2>0,loga5>0,可得此时不等式的解集为(1-loga2,1+loga5).
同理可得,当0<a<1时,不等式的解集为R.
综上所述,当a>1时,不等式的解集为(1-loga2,1+loga5);
当0<a<1时,不等式的解集为 .
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求在区间
上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ).
令,得
.
与
的情况如上:
所以,的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(Ⅱ)当,即
时,函数
在
上单调递增,
所以在区间
上的最小值为
.
当,即
时,
由(Ⅰ)知在
上单调递减,在
上单调递增,
所以在区间
上的最小值为
.
当,即
时,函数
在
上单调递减,
所以在区间
上的最小值为
.
综上,当时,
的最小值为
;
当时,
的最小值为
;
当时,
的最小值为
.
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点
为抛物线
上一点.
(1)求的方程;
(2)若点在
上,过
作
的两弦
与
,若
,求证: 直线
过定点.
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【题目】如图,在多面体中,底面
为正方形,四边形
是矩形,平面
平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若过直线的一个平面与线段
和
分别相交于点
和
(点
与点
均不重合),求证:
;
(3)判断线段上是否存在一点
,使得平面
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
.点
为圆
上任意一点,
为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线经过点
且与椭圆
相切,
与圆
相交于另一点
,点
关于原点
的对称点为
,证明:直线
与椭圆
相切.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线y=kx+b与抛物线C交于A(x1 , y1),B(x2 , y2),且|y1﹣y2|=2,过弦AB中点M作平行于x轴的直线交抛物线于点D,求△ABD的面积.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+(b﹣1)x+1(a,b∈R,a>0).
(1)若f(1)=0,且对任意x∈R,都有f(2﹣x)=f(2+x),求f(x)的解析式;
(2)已知x1 , x2为函数f(x)的两个零点,且x2﹣x1=2,当x∈(x1 , x2)时,g(x)=﹣f(x)+2(x2﹣x)的最大值为,当a≥2时,求h(a)的最小值.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,上顶点为
,若直线
的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为
,
的周长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线
(直线
的斜率不为1)与椭圆交于
两点,点
在点
的上方,若
,求直线
的斜率.
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【题目】一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况,随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况,如下表:
若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”,网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3.
(1)确定的值,并补全频率分布直方图;
(2)试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数;若平均数和中位数至少有一个不低于2千元,则该网店当日被评为“皇冠店”,试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.
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