【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
.点
为圆
上任意一点,
为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线经过点
且与椭圆
相切,
与圆
相交于另一点
,点
关于原点
的对称点为
,证明:直线
与椭圆
相切.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)根据椭圆的几何性质得到,
,进而求得方程;(2)由点P的坐标写出直线PA,由相切关系得到
,同理,由直线
与椭圆
也得到:
,再由
,可化简得到
.
解析:
(Ⅰ)解:由题意,知,
,
所以,
,
所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)证明:由题意,点在圆
上,且线段
为圆
的直径,
所以.
当直线轴时,易得直线
的方程为
,
由题意,得直线的方程为
,
与椭圆
相切.
同理当直线轴时,直线
也与椭圆
相切.
当直线与
轴既不平行也不垂直时,
设点,直线
的斜率为
,则
,直线
的斜率
,
所以直线:
,直线
:
,
由 消去
,
得.
因为直线与椭圆
相切,
所以,
整理,得(1)
同理,由直线与椭圆
的方程联立,
得.(2)
因为点为圆
上任意一点,
所以,即
.
代入(1)式,得,
代入(2)式,得
.
所以此时直线与椭圆
相切.
综上,直线与椭圆
相切.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知(a﹣3b)cosC=c(3cosB﹣cosA).
(1)求 的值;
(2)若c= a,求角C的大小.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超过x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)若将频率视为概率,从该城市居民中随机抽取3人,记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X,求X的分布列与数学期望.
(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值(精确到0.01),并说明理由.
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【题目】已知直线l:
1
证明直线l经过定点并求此点的坐标;
2
若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
3
若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设
的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
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【题目】如图,在四棱柱中,
平面
,
,
,
为
的中点.
(1)求四棱锥的体积;
(2)求证: ;
(3)判断线段上是否存在一点
(与点
不重合),使得
四点共面? (结论不要求证明)
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【题目】如图,在棱台ABC﹣FED中,△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形,平面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE为直角梯形,BC⊥CD,CD=1,N为CE中点, .
(Ⅰ)λ为何值时,MN∥平面ABC?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求直线AN与平面BMN所成角的正弦值.
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【题目】已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).
(1)若点P(m,m+1)在圆C上,求直线PQ的斜率.
(2)若M是圆C上任一点,求|MQ|的取值范围.
(3)若点N(a,b)在圆C上,求的最大值与最小值.
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