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    【题目】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
    （Ⅰ）求直方图中a的值；
    （Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．
    （Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．

    【答案】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得 （0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，
    解得a=0.30；
    （Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为
    （0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，
    则p=0.1，抽取的人数为X，
    则X的可能取值为0，1，2，3；
    ∴P（X=0）= 0.93=0.729，
    P（X=1）= 0.10.92=0.243，
    P（X=2）= 0.120.9=0.027，
    P（X=3）= 0.13=0.001；
    ∴X的分布列为

    X

    0

    1

    2

    3

    P

    0.729

    0.243

    0.027

    0.001

    数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；
    （Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为
    0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，
    即73%的居民月均用水量小于2.5吨；
    同理，88%的居民月均用水量小于3吨；
    故2.5＜x＜3，
    假设月均用水量平均分布，则
    x=2.5+0.5× =2.9（吨），
    即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨
    【解析】（Ⅰ）根据频率和为1，列出方程求得a的值；（Ⅱ）计算月均用水量不低于3吨的频率值，由抽取的人数X的可能取值为0，1，2，3； 计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；（Ⅲ）计算月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，求出有85%的居民月用水量不超过的标准值．

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