Question

【题目】已知定义在上的函数.

（1）求单调区间；

（2）当时，在上有三个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

对函数求导可得,,分，,三种情况讨论利用导数判断函数的单调性求单调区间即可;

令,把函数在上有三个零点转化为函数的图象与直线在上有三个不同的交点，通过对函数进行求导判断其单调性并求极值,得到关于的不等式,解不等式即可.

由题意知,，

令得或，

当时，恒成立，函数的单调增区间为；

当时由，得或；由，得；

函数的单调减区间为，单调增区间为，；

当时由，得或；由，得；

函数的单调减区间为，单调增区间为，；

综上可知,当时，函数的单调增区间为；

当时函数的单调减区间为，单调增区间为，；

当时函数的单调减区间为，单调增区间为，；

令，则，

则，令，解得，

当时,；当或时,，

函数在和上单调递增，在上单调递减，

所以当时,函数有极大值为，

当时,函数有极小值为，

使函数在上有三个零点，

即直线和函数有三个不同的交点，

由单调性，只需满足，

即，解得，

所以实数的取值范围是.