Question

设二次函数f（x）=x²+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x₂-x₁的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x₂．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）由x²+x+c=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）及c＞0得

△=12-4c＞0 c＞0

可知：0＜c＜

1

4

…（2分）
（Ⅱ）依根与系数的关系，得：

x1+x2=-1 x1x2=c

…（4分）
又x₂-x₁＞0，所以，x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

1-4c

，
∵0＜c＜

1

4

，∴1＞

1-4c

＞0
∴0＜x₂-x₁＜1…（8分）
∴故x₂-x₁∈（0，1）
（Ⅲ）证：∵f（m）＜0且抛物线f（x）=x²+x+c的开口向上
∴x₁＜m＜x₂…（10分）
可知：m-x₁＞0
而m+1＞m+（x₂-x₁）=（m-x₁）+x₂＞x₂…（14分）