Question

8．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，其中$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{3}，|{\overrightarrow b}|=2$，且$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a$，则向量$\overrightarrow a和\overrightarrow b$的夹角是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$及$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$便可以得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3$，再由$|\overrightarrow{b}|=2$便可由向量数量积的计算公式得到$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而便可得出向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角的大小．

解答 解：$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3$；
即$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=2\sqrt{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=3$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的范围，已知三角函数值求角．