【题目】已知函数.
(1)若函数在
上无极值点,试讨论函数
的单调性;
(2)证明:当时,对于任意
,不等式
恒成立.
【答案】(1) 当或
时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递减;当
时,
在
单调递增,
单调递减;当
时,
单调递减,在
单调递增.
(2)见解析.
【解析】分析:(1)求出导数,由
无极值点,得
(或
恒成立,从而得
,于是的
,再求出导数
,通过研究
的根的情况得出
(
)的解集,从而得
的单调性;
(2)利用导数知识可证,又在
时,
,因此要证题中不等式成立,只要证
,这可由二次函数的性质得证.
详解:(1)
,
因为函数在
上没有极值点,所以有
,解得
,
此时,
则,
,
(i)当时,在
上
,单调递减,
在上
,单调递增,
(ii)当时,令方程
的
,解得
或
①当时,在
上
,函数单调递增,
②当时,在
上
,函数单调递减,
当,即
且
时,方程
的两根为
,
③当时,
, 当
,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,
④当时,
,当
,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减.
综上所述:当或
时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递减;当
时,
在
单调递增,
单调递减;当
时,
单调递减,在
单调递增.
(2)解:令,令
,可得
,
当时,
,单调递减,当
,
,单调递增,
所以,即
,
因为,所以
,
又当时,
,事实上
.
要证原不等式成立,只需证明不等式,即
.
事实上,令.
因为,二次函数
的对称轴为
,所以
,
令,
关于
在
上单调递减,所以
所以.
所以,当时,对于任意的
,
不等式恒成立.
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【题目】在直角坐标系中,曲线C的参数方程为
(其中
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求C的普通方程和直线的倾斜角;
(Ⅱ)设点(0,2),
和
交于
两点,求
.
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【题目】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是( )
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线C2
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【题目】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若,则奖励玩具一个;
②若,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;
(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
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【题目】复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元,存入银行,年利率为2.25%;若放入微信零钱通或
者支付宝的余额宝,年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年,可以多获利息( )元.(参考数据:)
A. 176 B. 100 C. 77 D. 88
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【题目】已知,则下列结论中正确的是( )
A. 将函数的图象向左平移
个单位后得到函数
的图象
B. 函数图象关于点
中心对称
C. 函数的图象关于
对称
D. 函数在区间
内单调递增
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