Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）为其导函数，若f′（x）为偶函数且f（x）在x=2处取得极值d-16
（I）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值20，求f（x）在区间[-3，3]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax²+2bx+c，

f′(2)=0 f(2)=d-16

即可求解a=1，b=0，c=-12，
（Ⅱ）根据导数判断单调性得出f（x）=x³-12x+d，在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，再求出d，即可判断最值，求出来．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f′（x）为偶函数，
∴b=0，
∵f（x）在x=2处取得极值d-16，
∴

f′(2)=0 f(2)=d-16

∴

12a+c=0 8a+2c+d=d-2

解得：

a=1 c=-12

，
∴a=1，b=0，c=-12，
（Ⅱ）f（x）=x³-12x+d，
f′（x）=3x²-12，
∵f′（x）=3x²-12=0，x=2或x=-2，
∴当x∈（2，+∞）（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）=x³-12x+d，在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，
∴f（-2）=16+d=20，d=4，
f（-3）=13，f（2）=-12，
∴f（x）在区间[-3，3]上的最小值为-12．

点评：本题考查了导数在函数单调性，闭区间上的最大值，最小值的应用，属于难题，注意确定准极值点，最值点．