Question

已知曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

π

3

），写出曲线C的极坐标方程和点P的直角坐标；
（Ⅱ）设点Q（x，y）是曲线C上的一个动点，求t=x+y的最小值与最大值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）曲线C的参数方程

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数）．利用sin²θ+cos²θ=1即可得出直角坐标方程．利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可把直角坐标方程化为极坐标方程．
（Ⅱ）由于点Q在曲线C上，故可设点Q（2+cosθ，sinθ），可得t=x+y=2+cosθ+sinθ=2+

2

sin(θ+

π

4

)．利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）将点P(4，

π

3

)化为直角坐标为P(4cos

π

3

，4sin

π

3

)，即P(2，2

3

)，
由曲线C的参数方程

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数）．利用sin²θ+cos²θ=1可得：
曲线C的直角坐标方程（x-2）²+y²=1，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得：曲线C的极坐标方程ρ²-4ρcosθ+3=0．
（Ⅱ）∵点Q在曲线C上，故可设点Q（2+cosθ，sinθ），
∴t=x+y=2+cosθ+sinθ=2+

2

sin(θ+

π

4

)．
∵sin(θ+

π

4

)∈[-1，1]，
∴t最大=2+

2

，t最小=2-

2

．

点评：本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的参数方程、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．