Question

16．已知f（x）=（x-a）²+（lnx²-2a）²，其中x＞0，a∈R，存在x₀使f（x₀）≤$\frac{4}{5}$，求a的值．

Answer 1

分析 把f（x）=（x-a）²+（lnx²-2a）²看作是动点P（x，lnx²）与动点Q（a，2a）之间距离的平方，然后把存在x₀使f（x₀）≤$\frac{4}{5}$转化为直线y=2x与曲线y=2lnx上点的距离的最小值小于等于$\frac{4}{5}$，再利用导数得答案．

解答 解：f（x）=（x-a）²+（lnx²-2a）²可以看作是动点P（x，lnx²），与动点Q（a，2a）之间距离的平方，
动点P在函数y=2lnx的图象上，Q在直线y=2x上，
问题存在x₀使f（x₀）≤$\frac{4}{5}$，转化为求直线y=2x上的动点到曲线的最小距离，
对函数y=2lnx求导，得${y}^{′}=\frac{2}{x}$，
由$\frac{2}{x}=2$，解得x=1，此时直线y=2x与曲线y=2lnx的切点为（1，0），
∴直线y=2x上的动点与曲线y=2lnx上点的最小距离为d=$\frac{|2|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$f（x）≥\frac{4}{5}$，
根据题意，要使f（x₀）≤$\frac{4}{5}$，则$f（{x}_{0}）=\frac{4}{5}$，此时Q恰好为垂足，
即${k}_{PQ}=\frac{2a}{a-1}=-\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．