Question

8．数列{a_n}满足lg2^a_n=lg4${\;}^{\sqrt{{a}_{n-1}}}$+1，a₁=1
（1）求{a_n}通项公式．
（2）求1+5+9+13+…+（8n-7）=（4n-3）（2n-1）．．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系，构造等差数列，即可求{a_n}通项公式．
（2）根据数列的规律，确定数列为首项为1，公差d=4的等差数列，根据等差数列的前n项和公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵lg2^a_n=lg4${\;}^{\sqrt{{a}_{n-1}}}$+1，
∴2^a_n=10•2^a_n-1，
则$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{{2}^{{a}_{n-1}}}={2}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}=10$，
则a_n-a_n-1=log₂10，
则数列{a_n}是公差为log₂10的等差数列，
则{a_n}通项公式为a_n=1+log₂10（n-1）．
（2）1+5+9+13+…+（8n-7）=1+5+9+13+…+[4（2n-1）-3]，
则所求的数列之和为首项为1，公差d=4的等差数列的前2n-1项和，
故S=$\frac{1+8n-7}{2}×（2n-1）$=（4n-3）（2n-1）．
故答案为：（4n-3）（2n-1）．

点评 本题主要考查数列的通项公式以及求和的计算，根据条件构造等差数列是解决本题的关键．