Question

4．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，点B满足2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$，其中A在曲线C₁上，点B的轨迹为曲线C₂
（Ⅰ）求曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C₂相交于M，N，求△MNO的面积．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．设B（x，y），由2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$，可得$\overrightarrow{OA}$=（2x，2y），代入曲线C₁的直角坐标方程可得只直角坐标方程化为极坐标方程即可得出．
（II）由直线l，消去参数化为：x-y-2=0，与抛物线方程联立解得M，N的坐标，求出点O到直线l的距离d，利用△MNO的面积S=$\frac{1}{2}$d|MN|即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，可得直角坐标方程：y²=2x．
设B（x，y），∵2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$，∴$\overrightarrow{OA}$=（2x，2y），
代入曲线C₁的直角坐标方程可得：（2y）²=2•2x，化为：y²=x，化为极坐标方程可得：ρ²sin²θ=ρcosθ，即为ρsin²θ=cosθ．
∴曲线C₂的极坐标方程为ρsin²θ=cosθ．
（II）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为：x-y-2=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴|MN|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（-1-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
点O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴△MNO的面积S=$\frac{1}{2}$d|MN|=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=3．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．