Question

19．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AA₁的中点，E为BC的中点，
（1）求证：直线AE∥平面BDC₁；
（2）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=4，求点C到平面BDC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）取BC₁的中点F，连接DF，EF，则EF平行且等于AD，可得AE∥DF，利用线面平行的判定定理证明：直线AE∥平面BDC₁；
（2）利用等体积的方法，求点C到平面BDC₁的距离．

解答 （1）证明：取BC₁的中点F，连接DF，EF，则EF平行且等于AD，
∴EFDA是平行四边形，
∴AE∥DF，
∵AE?平面BDC₁，DF?平面BDC₁，
∴直线AE∥平面BDC₁；
（2）解：△BDC₁中，BD=2$\sqrt{2}$，BC₁=2$\sqrt{5}$，DC₁=2$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△BD{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{3}$=$\sqrt{15}$．
设点C到平面BDC₁的距离为h．则
由等体积可得$\frac{1}{3}×\sqrt{15}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴点C到平面BDC₁的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．