Question

8．如图，已知△ABC中，B=90°，∠C的平分线交AB于D，以AD为直径的圆O交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：AE•AC=AD•AB；
（2）若BD=1，BC=$\sqrt{3}$，求点F到线段AC的距离．

Answer 1

分析 （1）连接DE，则∠DEC=90°，证明C，E，D，B四点共圆，利用切割线定理证明AE•AC=AD•AB；
（2）若BD=1，BC=$\sqrt{3}$，求出CF，即可求点F到线段AC的距离．

解答 证明：（1）连接DE，则∠DEC=90°，
∵∠B=90°，
∴C，E，D，B四点共圆，
∴AE•AC=AD•AB；
解：（2）若BD=1，BC=$\sqrt{3}$，
则∠DCB=30°，∠ACB=60°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$，CD=2，
∵CE•CA=CD•CF，
∴CF=3，
∴点F到线段AC的距离为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段和切割线定理，证明乘积式的问题，属于中档题．