Question

17．已知命题：“平面内$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$是一组不平行向量，且|$\overrightarrow{OA}}$|=|${\overrightarrow{OB}}$|=1，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，则任一非零向量$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$（λ₁，λ₂∈R），若点P在过点O（不与OA重合）的直线l上，则$\frac{λ_1}{λ_2}$=k（定值），反之也成立，我们称直线l为以$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$为基底的等商线，其中定值k为直线l的等商比．”为真命题，则下列结论中成立的是①③④⑤（填上所有真命题的序号）．
①当k=1时，直线l经过线段AB中点；
②当k＜-1时，直线l与AB的延长线相交；
③当k=-1时，直线l与AB平行；
④l₁⊥l₂时，对应的等商比满足k₁•k₂=-1；
⑤直线l₁与l₂的夹角记为θ（θ≠$\frac{π}{2}}$）对应的等商比为k₁、k₂，则tanθ=$\frac{{|{{k_1}-{k_2}}|}}{{|{1+{k_1}{k_2}}|}}$．

Answer 1

分析 由题意可设A（1，0），B（0，1），对于①，可得P的坐标和直线l的方程，由中点坐标公式即可判断；
对于②，当k＜-1时，求得直线l的斜率范围，可得直线l与BA的延长线有交点，即可判断；
对于③，当k=-1时，求得直线AB的斜率和直线l的斜率，由两直线平行的条件，即可判断；
对于④，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合新定义即可判断；
对于⑤，运用两直线的夹角公式，结合新定义即可判断．

解答 解：平面内$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$是一组不平行向量，且|$\overrightarrow{OA}}$|=|${\overrightarrow{OB}}$|=1，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
可设A（1，0），B（0，1），
①当k=1时，有λ₁=λ₂，$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$=（λ₁，λ₂），
即有P在直线y=x上，直线l经过线段AB中点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），故①正确；
②当k＜-1时，直线l的方程为y=$\frac{{λ}_{2}}{{λ}_{1}}$x，可得直线l的斜率为（-1，0），
即有直线l与BA的延长线有交点，故②不正确；
③当k=-1时，直线l为y=-x，k_AB=$\frac{1-0}{0-1}$=-1，直线l与AB平行，故③正确；
④l₁⊥l₂时，可得直线l₁，l₂的斜率之积为-1，由新定义可得对应的等商比满足k₁•k₂=-1，故④正确；
⑤直线l₁与l₂的夹角记为θ（θ≠$\frac{π}{2}}$）对应的等商比为k₁、k₂，
由两直线的夹角公式可得tanθ=|$\frac{\frac{1}{{k}_{1}}-\frac{1}{{k}_{2}}}{1+\frac{1}{{k}_{1}{k}_{2}}}$|，化简可得tanθ=$\frac{{|{{k_1}-{k_2}}|}}{{|{1+{k_1}{k_2}}|}}$．故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．

点评 本题考查新定义的理解和运用，注意运用转化思想和坐标法，两直线平行、垂直的条件，以及夹角公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．