Question

2．已知圆O的方程为x²+y²=9，圆内一点C（2，1），过C且不过圆心的动直线l交圆O于P、Q两点，圆心O到直线l的距离为d．
（1）用d表示△OPQ的面积S，并写出函数S（d）定义域；
（2）求S的最大值并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出OC的长度，得到d的范围，再由垂径定理把弦长用d表示，可得△OPQ的面积S的表达式；
（2）利用基本不等式求得S的最大值，得到相应的d值，再由点到直线距离公式求得直线的斜率得答案．

解答 解：（1）如图，
∵圆内一点C（2，1），∴|OC|=$\sqrt{5}$，
则圆心O到直线l的距离为d∈（0，$\sqrt{5}$]．
∵圆O的半径为3，∴|PQ|=2$\sqrt{9-{d}^{2}}$，
则S（d）=$\frac{1}{2}|PQ|•d=\frac{1}{2}×2\sqrt{9-{d}^{2}}•d$=$\sqrt{（9-{d}^{2}）•{d}^{2}}$．
函数定义域为（0，$\sqrt{5}$]；
（2）由S（d）=$\sqrt{（9-{d}^{2}）•{d}^{2}}$$≤\sqrt{（\frac{9-{d}^{2}+{d}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{9}{2}$．
得S的最大值为$\frac{9}{2}$，当且仅当9-d²=d²，即${d}^{2}=\frac{9}{2}$，d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$∈（0，$\sqrt{5}$]．
此时直线l的斜率存在，设为k，则直线方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
由d=$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得k=-1或k=-7．
∴直线l的方程为：x+y-3=0或7x+y-15=0．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．